สมการที่ “สวยงามที่สุด”

ในบรรดาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์มากมายนับไม่ถ้วน อยากรู้กันมั้ยว่าสมการใดที่ได้ชื่อว่า “สวยงามที่สุดในโลก” และใครกันนะเป็นคนคิด

ในปี ค.ศ. 1748 หรือสมัยกรุงศรีอยุธยาของบ้านเรา เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ที่มีผลงานเยอะที่สุดคนหนึ่งในโลก ได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นโบว์แดงของในชื่อว่า Introduction to the Analysis of the Infinite โดยผลงานชิ้นนี้มีทั้งหมด 22 บท ซึ่งเป็นรากฐานของศาสตร์ที่ชื่อว่าคณิตวิเคราะห์ ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์หลายแขนงโดยเฉพาะแคลคูลัสที่เด็กวิศวะอย่างเราต้องเรียนกัน

ในบทที่ 8 ของหนังสือเล่มนี้ ออยเลอร์เสนอความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) หรือ e^(ix)= cos(x) +𝚒sin(x) และด้วยสูตรนี้เอง หากเราแทนค่า x=π เราจะพบความสัมพันธ์ที่ถูกยกย่องว่างดงามที่สุดในโลกหรือที่เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler’s identity)

ที่ว่างดงามไม่ได้เพราะว่าเขียนออกมาสวย แต่ความสวยงามของสมการนี้เกิดจากความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายของค่าคงที่ที่สำคัญในทางคณิตศาสตร์ถึง 5 ตัวด้วยกัน คือ

1. π (π = 3.141 ... ) ค่าคงที่ที่มีทศนิยมไม่สิ้นสุด ที่เป็นรากฐานสู่ความสัมพันธ์เชิงวงกลมต่างๆ

2. e (e = 2.718 ... ) หรือเรียกว่าเลขของออยเลอร์ เป็นค่าอีกตัวที่เป็นทศนิยมไม่สิ้นสุด และเป็นเลขที่ในทางคณิตศาสตร์ใช้บ่อยไม่แพ้ค่าพายเลย

3. i หรือ หน่วยจินตภาพ ที่เรียกว่าจิตภาพเพราะ i มีค่าเท่ากับ √-1 ซึ่งไม่นิยามอยู่ในโลกของจำนวนจริง (จะเห็นว่า i² = -1 ซึ่งไม่มีค่าใดในระบบจำนวนจริงที่ยกกำลัง 2 แล้วติดลบ)

4. 0 ตัวเลขที่เมื่อ“บวก” เข้าไปให้กับจำนวนใดก็ตามจะให้ผลออกมาเท่าเดิม หรืออาจะเรียกได้ว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. 1 ตัวเลขที่เมื่อ”คูณ” เข้าไปให้กับจำนวนใด ก็จะได้ผลออกมาเท่าเดิม จึงบอกได้ว่า 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

หนึ่งในหลายคนที่กล่าวยกย่องถึงความสวยงามของสมการนี้คือ ริชาร์ด ไฟน์แมน ผู้ที่ได้ชื่อว่าทรงอิทธิพลที่สุดคนหนึ่งในศตวรรษที่ 20 เจ้าของทฤษฎีที่สำคัญทางควอนตัมฟิสิกส์หลากหลายทฤษฎีเลย

สมการนี้ถูกนำมาประยุกต์ใช้ในทางวิศวะมากมาย เช่น การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ การแก้ปัญหาระบบการสั่นสะเทือน การแก้ปัญหาด้าน signal processing และอื่นๆอีกมากมายเลย

ถ้าสนใจ สามารถดูพิสูจน์สมการนี้ได้ที่นี่นะครับ https://vt.tiktok.com/ZS8RKcUVU/