สมการนาเวียร์-สโตกส์

สมการนาเวียร์-สโตกส์ สุดยอดสมการแห่งวงการกลศาสตร์ของไหล ใครสามารถแก้ได้ รับเงินรางวัล 35 ล้านไปเลย

ถ้าพูดถึงสมการที่ใช้อธิบายการไหล หลายๆคนคงคิดถึงสมการแบร์นูลลีใช่ไหมครับ แต่สมการแบร์นูลลีมีเงื่อนไขในการใช้งานที่จำกัดมากโดยเฉพาะเงื่อนไขที่บอกว่า “ไม่คิดแรงเสียดทานเนื่องจากความหนืดของของไหล” ทำให้ในหลายสถานการณ์สมการนี้จึงมีความคาดเคลื่อนจากการคำนวณที่สูง

ด้วยความพยายามที่จะอธิบายการไหลให้ครอบคลุมยิ่งขึ้น ในปี ค.ศ. 1822 โกลด ลูอีส นาเวียร์ นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศษ ได้เริ่มต้นพัฒนาสมการนี้ขึ้นมาแต่ก็ยังไม่สมบูรณ์ จนในปี ค.ศ. 1842 จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษก็ได้เข้ามาพัฒนาสมการนี้ต่อ จนหลังจากนั้นอีก 8 ปี ก็ได้ถือกำเนิดสมการที่มีความยิ่งใหญ่แห่งโลกกลศาสตร์ของไหล นั้นคือ “สมการนาเวียร์-สโตกส์” โดยสมการนี้ได้แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรหลักๆก็คือ ความเร็ว (V), ความดัน (P) ของของไหล ณ ตำแหน่งต่างๆ ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และสัมพันธ์กับสมบัติของของไหล เช่น ความหนาแน่น(𝜌), ความหนืด(μ)

การได้มาของสมการนี้อาจจะเรียกได้ว่าไม่ได้เข้าใจยากเลย เพราะมาจากสมการพื้นฐานอย่าง F = ma แต่สิ่งที่ยากก็คือการแก้สมการ โดยสมการนาเวียร์-สโตกส์จัดเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ในรูปแบบเวกเตอร์ที่มีความซับซ้อนสูง นอกจากจะขึ้นกับตำแหน่งแบบ 3 มิติแล้ว ยังเปลี่ยนแปลงตลอดตามเวลาด้วย ทำให้ในปัจจุบันการแก้สมการนาเวียร์-สโตกส์ในวิธีปกติที่ครอบคลุมในทุกๆเงื่อนไขยังไม่สามารถมีใครทำได้

วิศวกรที่ต้องการใช้สมการนี้ในการแก้ด้านปัญหากลศาสตร์ของไหลจึงต้องเลี่ยงมาใช้การหาคำตอบในอีกรูปแบบหนึ่งก็คือ วิธีเชิงตัวเลข (numerical method) ผ่านซอฟต์แวร์จำพวก CFD (computational fluid dynamics) แทน ซึ่งมันก็พอจะคำนวณได้ แต่ความถูกต้องก็จะขึ้นกับเงื่อนไขที่ป้อนให้กับโปรแกรมอีกที

ด้วยความยากระดับตำนานนี้เอง สถาบันคณิตศาสตร์เคล์ยได้ตั้งค่าหัวสมการนี้สูงถึง 1 ล้านเหรียญสหรัฐ หรือประมาณ 35 ล้านบาทให้กับคนที่สามารถแก้สมการในรูปแบบที่ครอบคลุมทุกเงื่อนไขได้ ซึ่งปัจจุบันยังไม่มีใครพิชิตปัญหานี้ได้เลย

สมการนี้ถูกใช้ในการวิเคราะห์การลงจอดของกระสวยอวกาศ วิเคราะห์กระแสอากาศเพื่อใช้ในการออกแบบชิ้นส่วนยานพาหนะที่ซับซ้อน การทำนายสภาพอากาศ และอื่นๆอีกมากมาย… ถ้าวันหนึ่งมีใครซักคนสามารถแก้สมการนี้ได้ เราอาจจะเห็นการพยากรณ์อากาศข้ามเดือนหรือข้ามปีที่แม่นยำมากกว่านี้