3 เทคนิคอินทิเกรต ที่ใช้บ่อยที่สุดในมหาวิทยาลัย

ก่อนอื่นเลยต้องเข้าใจก่อนว่าทุกเทคนิคของการอินทิเกรต ทำมาเพื่อแก้ปัญหา ∫f(x)dx ที่ f(x) ไม่ได้เป็นฟังก์ชันพื้นฐานที่เปิดตารางอินทิเกรตได้ เราเลยต้องมีการจัดรูป f(x) ซะใหม่ เพื่อให้สุดท้ายแล้ว อยู่ในรูปแบบที่เปิดตารางอินทิเกรตได้นั่นเอง โดยจะเลือกใช้เทคนิคไหนนั้น ก็ขึ้นกับว่า f(x) เป็นฟังก์ชันแบบใด เทคนิคที่เราแนะนำมีอะไรบ้าง มาดูกันครับ

1. การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร u (u-Substitution)

เป็นเทคนิคอินทิเกรตที่ใช้บ่อยที่สุด และนักศึกษาวิศวะทุกคนควรใช้งานให้ได้อย่างชำนาญ ซึ่งการเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็นตัวแปรใหม่คือ u ไม่มีหลักการที่ตายตัวครับ แต่จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ (1) ต้องสามารถเปลี่ยนฟังก์ชันของ x เป็น u ได้ทั้งหมด นั่นคือ ∫f(x)dx → ∫g(u)du (2) เมื่อเปลี่ยนเป็น u แล้วต้องอยู่ในรูปอินทิเกรตของฟังก์ชันพื้นฐานที่สามารถเปิดตารางได้

2. การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน (Integration by Parts; IBP)

90% ของเทคนิคนี้จะใช้อินทิเกรตฟังก์ชันที่คูณกันอยู่ เช่น ∫x*e^xdx, ∫e^x*sin(x)dx เทคนิคนี้เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตร

∫udv = uv-∫vdu

จะเห็นว่าเราจะต้องเปลี่ยนโจทย์ ∫f(x)dx → ∫udv นั่นคือ เราต้อง เลือก u และ dv จากนั้นเพื่อให้สามารถแทนค่าในสูตรได้ เราต้องเปลี่ยน u → du และ dv → v ด้วย

โดยความยากของเทคนิคนี้คือการเลือกว่าตัวไหนควรเป็น u และ dv ซึ่งพี่จุ๊เคยได้ทำการสอนเทคนิคการเลือกไว้ในคลิป ติว Math1 - เรื่องเทคนิคอินทิเกรต By Part

3. การอินทิเกรตของฟังก์ชันโดยเศษส่วนย่อย (Partial Fraction)

เทคนิคนี้จะใช้กับการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ หรือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของการหารกันของฟังก์ชันพหุนาม เช่น ∫1/[(x+1)(x-1)]dx

หลักการของเทคนิคนี้คือการ การเปลี่ยนตัวส่วนที่อยู่ในรูปผลคูณของหลายๆ factor ให้กลายเป็นผลบวกแทน โดยใช้หลักการเศษส่วนย่อย(Partial fraction) ตัวอย่างเช่น

∫1/[(x+1)(x-1)]dx → ∫ [A/(x+1) + B/(x-1)]dx ( AและB คือสัมประสิทธิ์ของการทำเศษส่วนย่อยสามารถแก้สมการหาได้ )

จะเห็นว่าเราสามารถใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร u แล้วใช้สูตรพื้นฐานอย่าง ∫(1/u)dx=ln|u|+c ในการอินทิเกรตได้เลย