ดิฟ x² ได้ 2x สูตรนี้มาจากไหน

การ “ดิฟ” หรือการหาอนุพันธ์ มีสูตรเยอะมาก เยอะจนมีการรวบรวมไว้เป็นตาราง แต่ภายใต้แนวคิดสูตรมากมายกลับมาจากหลักการง่ายๆแค่ “ความชันของเส้นสัมผัสส่วนโค้ง” เท่านั้นเอง เรามาดูกันครับว่าจาก ความชัน กลายเป็นสูตร ดิฟ ได้ยังไง

ถ้าถามน้องๆว่าความชันของสมการเส้นตรง y = mx + c คืออะไร?

ทุกคนคงตอบได้ว่า m = Δy/Δx ซึ่งเป็นการหาความชันระหว่างจุด 2 จุดบนเส้นตรง โดยไม่ว่าสมการเส้นตรง จะมีหน้าตาอย่างไร ก็สามารถใช้สูตรนี้หาความชันได้ เนื่องจากสมการเส้นตรงมีความชันที่คงที่ แต่สำหรับฟังก์ชันอื่นๆ ความชันจะไม่คงที่ และจะแปรเปลี่ยนตามค่า x ทำให้เราไม่สามารถใช้สูตรนี้หาความชันของฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่สมการเส้นตรง

ในเมื่อเราไม่สามารถใช้วิธีบ้านๆในการหาความชันของกรณีนี้ได้ นักคณิตศาสตร์เขาก็จับสมการความชันระหว่างจุด 2 จุด (จุด P และ Q ดังรูป) มาดัดแปลงโดยให้ 2 จุดดังกล่าวเข้าใกล้กันมากๆ (Δx → 0) จากความรู้เรื่อง “ลิมิต” ทำให้เราสามารถหาความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ ได้ เกิดสูตรการหาอนุพันธ์โดยนิยามขึ้นมา และเปลี่ยนจากสัญลักษณ์ Δy และ Δx เป็น dy และ dx ตามสมการในรูปข้างล่างครับ

และในเวลาต่อมา พบว่าสูตรดังกล่าวมีความยุ่งยากในการใช้งานเนื่องจากต้องมีการคำนวณลิมิต แถมฟังก์ชันพื้นฐานที่เรานำมาดิฟจริงๆแล้วก็มีอยู่ไม่ได้เยอะมาก นักคณิตศาสตร์จึงนำฟังก์ชันพื้นฐานไปแทนค่าในสูตร และออกมาเป็นตารางดิฟ ที่น้องๆใช้งานกันครับ

อ่านมาถึงตรงนี้พี่เชื่อว่าหลายๆคนอาจจะอยากรู้ว่าแล้วดิฟมันเอาไปใช้งานยังไง? ขอยกตัวอย่างซักข้อหนึ่งนะครับ เช่น หากเราทดลองเก็บค่า ระยะทาง, s ของรถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ไปที่เวลาใดๆ, t เราจะได้ฟังก์ชัน s = f(t) ถูกมั้ยครับ หากเราทำการหาอนุพันธ์ของ s เทียบ t เราจะได้ความเร็วที่รถคันนี้ที่เวลาใดๆครับ

ต้องบอกว่าบทประยุกต์ของการดิฟมีเยอะมากจริงๆครับ ใครที่เรียนวิศวะมาซักพักคงรู้ว่าดิฟจะใช้ในแทบทุกวิชาเลย ดังนั้นถ้าจะแตกฉานในศาสตร์ของวิชาด้านวิศวกรรมความรู้เรื่องอนุพันธ์เป็นสิ่งที่ขาดกันไม่ได้ครับ